5eNombres et calculs

Puissances

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Compétences du chapitre

Compétence 1 / 3

Écrire et calculer des puissances entières positives (carré, cube, exposant n)

Comprendre la notation puissance et calculer des puissances simples.

Définition

Pour tout nombre $a$ et tout entier $n \ge 1$ , la puissance $a^n$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}}$ $a$ est la base, $n$ est l'exposant.

Vocabulaire clé

Base

Le nombre que l'on multiplie par lui-même (ex. : $3$ dans $3^2$ ).

Exposant

Le nombre de fois que l'on multiplie la base (ex. : $2$ dans $3^2$ ).

Carré

Puissance $2$ : $a^2 = a \times a$ .

Cube

Puissance $3$ : $a^3 = a \times a \times a$ .

Conventions importantes

$a^1 = a$ (un seul facteur).
$a^0 = 1$ pour tout $a \ne 0$ (convention).
Attention : $a^n \ne a \times n$ en général. Par exemple $2^3 = 8 \ne 2 \times 3 = 6$ .

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \quad 3^2 = 3 \times 3 = 9$

Représentations

Puissances de 2 et carré géométrique

Un carré de côté a a une aire égale à a². Les puissances de 2 doublent à chaque exposant.

Exemple

Calcule $4^2$ et $2^4$ . Sont-ils égaux ?

Erreurs fréquentes

✗

Calculer $2^3 = 2 \times 3 = 6$ .

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ . L'exposant indique le nombre de fois qu'on multiplie la base, pas un facteur supplémentaire.

✗

Croire que $(-2)^2 = -4$ .

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4$ . Le carré d'un nombre négatif est toujours positif.

⚡ Exercice rapide

Calcule $5^2$ , $3^3$ et $10^0$ .

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