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C14e

Énoncer le théorème des milieux et calculer des longueurs dans un triangle

Connaître l'énoncé du théorème des milieux et comprendre les deux propriétés (parallélisme et longueur moitié).

Milieux des côtés d'un triangle

Dans un triangle, on considère les milieux de deux côtés. Le segment qui les joint possède des propriétés remarquables liant parallélisme et longueur.

Vocabulaire clé

Milieu d'un segment

Point qui partage un segment en deux parties de même longueur.

Droite des milieux

Droite passant par les milieux de deux côtés d'un triangle ; elle est parallèle au troisième côté.

Théorème des milieux

Si $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ , alors la droite $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$ et la longueur $IJ$ est égale à la moitié de $BC$ .

$(IJ) \parallel (BC) \quad \text{et} \quad IJ = \dfrac{BC}{2}$

Théorème des milieux

Triangle ABC avec milieux I et J

$I$ et $J$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ ; le segment $[IJ]$ est parallèle à $[BC]$ .

Exemple

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[AC]$ . Si $BC = 12$ cm, que vaut $IJ$ ?

Erreurs fréquentes

✗

Croire que $IJ = BC$ ou que $IJ = 2 \times BC$ .

Le segment des milieux mesure la moitié du troisième côté : $IJ = \dfrac{BC}{2}$ .

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Vue du chapitre Calculer des longueurs en appliquant le théorème des milieux