Compétence 3 / 3100%

C34e

Utiliser la réciproque pour démontrer un parallélisme ou identifier un milieu

Mobiliser la réciproque du théorème des milieux pour prouver qu'une droite passe par un milieu ou qu'un point est un milieu.

Réciproque du théorème des milieux

Si une droite passe par le milieu d'un côté d'un triangle et est parallèle à un deuxième côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

$I \text{ milieu de } [AB] \text{ et } (IJ) \parallel (BC) \;\Rightarrow\; J \text{ milieu de } [AC]$

Méthode

Vérifier qu'un point donné est le milieu d'un côté.

Vérifier que la droite tracée est parallèle à un autre côté.

Conclure, d'après la réciproque, que la droite coupe le troisième côté en son milieu.

Exemple

Dans un triangle $ABC$ , $I$ est le milieu de $[AB]$ . La droite passant par $I$ et parallèle à $(BC)$ coupe $[AC]$ en $J$ . Que peut-on dire de $J$ ?

À retenir

Théorème des milieux : si $I$ et $J$ sont milieux de $[AB]$ et $[AC]$ , alors $(IJ) \parallel (BC)$ et $IJ = \dfrac{BC}{2}$ .
Pour trouver le petit segment : $IJ = \dfrac{BC}{2}$ (on divise par $2$ ).
Pour trouver le grand côté : $BC = 2 \times IJ$ (on multiplie par $2$ ).
Réciproque : une droite passant par le milieu d'un côté et parallèle à un autre côté coupe le troisième en son milieu.

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Calculer des longueurs en appliquant le théorème des milieux Exercices