Comparer des nombres écrits avec des racines carrées

Utiliser la propriété du carré et comparer des nombres avec des racines carrées.

Définition

Pour comparer un entier et une racine carrée, on compare le carré de l'entier avec le radicande. Plus le radicande est grand, plus la racine carrée est grande (pour des nombres positifs).

Comparaison

Pour deux nombres positifs $a$ et $b$ : $\text{si } a < b \text{ alors } \sqrt{a} < \sqrt{b}$ Pour comparer un entier $n$ et $\sqrt{a}$ , on compare $n^2$ et $a$ .

$\sqrt{30} \;?\; 6 \;\Rightarrow\; 30 < 36 = 6^2 \;\Rightarrow\; \sqrt{30} < 6$

Exemple

Compare $\sqrt{50}$ et $7$ .

Exemple

Range dans l'ordre croissant : $\sqrt{10}$ , $3$ et $\sqrt{8}$ .

Méthode

Écrire l'entier sous forme de racine carrée à l'aide de son carré.

Comparer les radicandes entre eux.

En déduire la comparaison des racines carrées.

Conclure dans l'ordre demandé.

Erreurs fréquentes

✗

Affirmer que $\sqrt{8} + \sqrt{2}$ est égal à $\sqrt{10}$ .

On n'additionne pas les radicandes : $\sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a+b}$ en général.

À retenir

$\sqrt{a}$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ : $(\sqrt{a})^2 = a$ .
La racine carrée d'un carré parfait est un entier (ex. : $\sqrt{49} = 7$ ).
Pour encadrer $\sqrt{a}$ , on cherche les carrés parfaits autour de $a$ .
Pour comparer un entier $n$ et $\sqrt{a}$ , on compare $n^2$ et $a$ .
$\sqrt{a}$ n'existe que si $a$ est positif.

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Encadrer la racine carrée d'un entier entre deux entiers consécutifs Exercices