Définir la racine carrée d'un nombre positif et calculer sa valeur exacte

Comprendre la notion de racine carrée et l'utiliser avec les carrés parfaits.

Définition

La racine carrée d'un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré est égal à $a$ . On la note $\sqrt{a}$ . Ainsi, $\sqrt{a}$ est le nombre positif tel que $(\sqrt{a})^2 = a$ .

Vocabulaire clé

Racine carrée

Nombre positif dont le carré vaut $a$ , noté $\sqrt{a}$ .

Carré parfait

Entier qui est le carré d'un entier (ex. : $36 = 6^2$ ).

Radicande

Nombre situé sous le symbole $\sqrt{\;}$ .

Représentations

Les carrés parfaits

Connaître les carrés parfaits permet de trouver les racines carrées exactes.

Propriété fondamentale

Pour tout nombre positif $a$ : $(\sqrt{a})^2 = a \quad \text{et} \quad \sqrt{a^2} = a$ La racine carrée d'un carré parfait est un entier.

$(\sqrt{7})^2 = 7 \qquad \sqrt{9^2} = 9 \qquad \sqrt{49} = 7$

Exemple

Calcule $\sqrt{81}$ .

Exemple

Calcule $(\sqrt{13})^2 + \sqrt{144}$ .

Erreurs fréquentes

✗

Écrire $\sqrt{16} = 8$ .

On cherche le nombre dont le carré vaut $16$ : c'est $4$ car $4^2 = 16$ . Donc $\sqrt{16} = 4$ , pas $8$ .

✗

Penser que $\sqrt{-9}$ existe.

La racine carrée n'existe que pour les nombres positifs : un carré ne peut jamais être négatif.

⚡ Exercice rapide

Calcule $\sqrt{100}$ .

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Vue du chapitre Encadrer la racine carrée d'un entier entre deux entiers consécutifs