Résoudre des problèmes de géométrie plane à l'aide d'un repère

Utiliser les coordonnées et la formule du milieu pour résoudre des problèmes géométriques (alignement, parallélogramme, etc.).

Stratégie : géométrie analytique

Placer une figure dans un repère orthonormé permet de calculer des propriétés géométriques à l'aide de coordonnées. On peut vérifier qu'un point est le milieu d'un segment, trouver un sommet manquant d'un parallélogramme, ou vérifier que des points sont alignés.

Propriété du parallélogramme

Dans un parallélogramme $ABCD$ , les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu commun. Donc $milieu(AC) = milieu(BD)$ . On peut utiliser cette propriété pour trouver les coordonnées d'un sommet manquant.

$\dfrac{x_A + x_C}{2} = \dfrac{x_B + x_D}{2} \quad \text{et} \quad \dfrac{y_A + y_C}{2} = \dfrac{y_B + y_D}{2}$

Trouver un sommet de parallélogramme

$ABCD$ est un parallélogramme avec $A(0 ; 0)$ , $B(4 ; 0)$ , $C(5 ; 3)$ . Trouver $D$ .

Méthode

Identifier ce qui est donné (coordonnées des points connus) et ce qui est cherché.

Choisir la propriété géométrique à utiliser : milieu, parallélogramme, etc.

Appliquer la formule du milieu en posant les équations.

Résoudre pour trouver les coordonnées inconnues.

Vérifier le résultat en contrôlant que la propriété est bien satisfaite.

À retenir

Un repère orthonormé est formé de deux axes perpendiculaires (x et y) avec la même unité, d'origine O(0 ; 0).
Les coordonnées d'un point s'écrivent toujours (abscisse ; ordonnée).
Le milieu de $[AB]$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ .
Dans un parallélogramme, les diagonales ont le même milieu : cela permet de retrouver un sommet manquant.
La géométrie analytique transforme des problèmes géométriques en calculs avec des coordonnées.

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Calculer les coordonnées du milieu d'un segment Exercices