Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point (demi-tour)

Construire à la règle et au compas le symétrique d'un point, d'un segment ou d'une figure par rapport à un centre $O$.

Définition

Le symétrique d'un point $A$ par rapport à un centre $O$ est le point $A'$ tel que $O$ est le milieu de $[AA']$ . On a donc $OA = OA'$ et $O$ , $A$ , $A'$ sont alignés.

Vocabulaire clé

Image par symétrie centrale

Le point $A'$ est l'image de $A$ par la symétrie centrale de centre $O$ si $O$ est le milieu de $[AA']$ .

Construction du symétrique d'un point

Point $A$ et son symétrique $A'$ par rapport au centre $O$

$O$ est le milieu de $[AA']$ : $OA = OA'$ .

Méthode

Repérer le centre $O$ et le point $A$ dont on cherche le symétrique.

Tracer la droite passant par $O$ et $A$ .

Reporter la distance $OA$ de l'autre côté de $O$ : placer $A'$ tel que $OA' = OA$ .

Vérifier que $O$ est bien le milieu de $[AA']$ .

Pour une figure, construire le symétrique de chaque sommet puis relier les images.

Exemple

$O$ a pour coordonnées $(5\,;\,2)$ et $A$ a pour coordonnées $(3\,;\,1)$ . Calculer les coordonnées du symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $O$ .

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Reconnaître une figure admettant un centre de symétrie Utiliser les propriétés de la symétrie centrale (conservation des distances)