Reconnaître une figure admettant un centre de symétrie

Identifier si une figure admet un centre de symétrie et localiser ce centre.

Centre de symétrie

Une figure admet un centre de symétrie $O$ si pour tout point $A$ de la figure, le symétrique de $A$ par rapport à $O$ appartient aussi à la figure. Autrement dit, la figure coïncide avec elle-même après un demi-tour (rotation de $180°$ ) autour de $O$ .

Vocabulaire clé

Symétrie centrale

Transformation géométrique qui associe à chaque point $A$ son image $A'$ telle que $O$ est le milieu de $[AA']$ . On parle aussi de demi-tour de centre $O$ .

Demi-tour

Rotation d'angle $180°$ autour d'un point $O$ . Revenir à la position initiale nécessite deux demi-tours.

Figures admettant un centre de symétrie

Parmi les figures usuelles, admettent un centre de symétrie : le cercle (tout centre), le parallélogramme (centre = intersection des diagonales), le losange, le rectangle et le carré. En revanche, un triangle quelconque et un triangle isocèle (sans être équilatéral) n'admettent pas de centre de symétrie.

$O \text{ centre de symétrie} \Leftrightarrow \forall A \in \mathcal{F},\; A' \in \mathcal{F} \text{ avec } O = \text{milieu de } [AA']$

Parallélogramme et son centre de symétrie

Parallélogramme $ABCD$ - centre de symétrie $O$ à l'intersection des diagonales

$O$ est le milieu de $[AC]$ et de $[BD]$ : c'est le centre de symétrie.

Exemple

Parmi ces figures, lesquelles admettent un centre de symétrie : triangle isocèle, rectangle, cercle, triangle quelconque ?

Erreurs fréquentes

✗

Confondre axe de symétrie et centre de symétrie.

L'axe de symétrie est une droite (symétrie axiale). Le centre de symétrie est un point (symétrie centrale = demi-tour). Un triangle isocèle a un axe de symétrie mais pas de centre de symétrie.

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Vue du chapitre Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point (demi-tour)