Utiliser les propriétés de la symétrie centrale (conservation des distances)

Appliquer les propriétés de conservation de la symétrie centrale pour résoudre des problèmes géométriques.

Propriétés de conservation

La symétrie centrale conserve : les longueurs (distances), les angles, les aires. L'image d'un segment est un segment de même longueur. L'image d'une droite est une droite parallèle à la droite de départ.

$AB = A'B' \quad \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} \quad \mathcal{A}(\mathcal{F}) = \mathcal{A}(\mathcal{F}')$

Exemple

Par la symétrie centrale de centre $O$ , un segment $[AB]$ de $6$ cm a pour image $[A'B']$ . Quelle est la longueur de $[A'B']$ ?

Exemple

Un triangle $ABC$ d'aire $15 \text{ cm}^2$ est transformé par une symétrie centrale de centre $O$ . Quelle est l'aire du triangle image $A'B'C'$ ? La droite $(BC)$ est-elle parallèle à $(B'C')$ ?

Erreurs fréquentes

✗

Croire que la symétrie centrale est identique à la symétrie axiale.

La symétrie axiale utilise un axe (droite) et la figure est « retournée ». La symétrie centrale utilise un point et la figure est « tournée de $180°$ » sans retournement.

À retenir

La symétrie centrale de centre $O$ associe à tout point $A$ son image $A'$ telle que $O$ est le milieu de $[AA']$ (demi-tour de $180°$ ).
Figures admettant un centre de symétrie : cercle, parallélogramme (et ses cas particuliers), mais pas le triangle isocèle ni le triangle quelconque.
Construction : tracer la droite $(OA)$ et reporter $OA$ de l'autre côté de $O$ pour obtenir $A'$ .
Propriétés conservées : longueurs, angles, aires. L'image d'une droite est une droite parallèle.
En repère, si $O = (x_O\,;\,y_O)$ , alors $A'\left(2x_O - x_A\,;\, 2y_O - y_A\right)$ .

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Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point (demi-tour)Exercices