Utiliser le calcul littéral pour démontrer une propriété

Justifier une propriété générale à l'aide d'expressions littérales.

Définition

Le calcul littéral permet de démontrer une propriété pour tous les nombres, et pas seulement pour quelques exemples. On utilise une lettre pour représenter un nombre quelconque, puis on développe ou on factorise.

Méthode

Traduire l'énoncé avec une lettre représentant un nombre quelconque.

Écrire l'expression correspondante.

Développer ou factoriser pour la simplifier.

Conclure sur la propriété démontrée.

Exemple

Montre que la somme d'un nombre et de son double est égale au triple de ce nombre.

Exemple

Montre que $(n+1)(n+3) - n(n+4)$ est toujours égal à $3$ , quel que soit $n$ .

Erreurs fréquentes

✗

Vérifier la propriété sur un seul exemple et conclure qu'elle est toujours vraie.

Un exemple ne suffit pas à démontrer : seul le calcul littéral, valable pour tout $n$ , le prouve.

À retenir

Développer : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ .
Factoriser : $ka + kb = k(a+b)$ , c'est l'opération inverse.
On choisit selon la forme de départ et le but recherché.
Développer et factoriser ne changent pas la valeur de l'expression.
Le calcul littéral permet de démontrer une propriété pour tout nombre.

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Choisir entre développer et factoriser selon le problème Exercices