Développer un produit avec la double distributivité

Transformer un produit de deux sommes en une somme de termes.

Définition

Développer un produit, c'est le transformer en une somme. Pour un produit de deux sommes, on utilise la double distributivité : chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.

Vocabulaire clé

Développer

Transformer un produit en somme en supprimant les parenthèses.

Double distributivité

Multiplier chaque terme d'une parenthèse par chaque terme de l'autre.

Terme

Partie d'une expression séparée par $+$ ou $-$ .

Double distributivité

Pour tous nombres $a$ , $b$ , $c$ , $d$ : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis on réduit.

$(x+2)(x+3) = x \times x + x \times 3 + 2 \times x + 2 \times 3 = x^2 + 5x + 6$

Représentations

Modèle de l'aire

L'aire du grand rectangle est la somme des aires des quatre sous-rectangles.

Exemple

Développe $(x+4)(x+1)$ .

Exemple

Développe et réduis $(2x+3)(x-5)$ .

Erreurs fréquentes

✗

Développer $(x+2)(x+3) = x^2 + 6$ .

On oublie les termes croisés. Il faut les quatre produits : $x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ .

✗

Oublier la règle des signes : $(x-5) \times 3 = 3x + 15$ .

$3 \times (-5) = -15$ , donc $3(x-5) = 3x - 15$ .

⚡ Exercice rapide

Développe et réduis $(x+1)(x+6)$ .

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Vue du chapitre Factoriser une expression en mettant en évidence un facteur commun