Démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme

Utiliser les critères de reconnaissance (côtés, diagonales) pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme.

Critères de reconnaissance d'un parallélogramme

Un quadrilatère est un parallélogramme si l'une des conditions suivantes est vérifiée : (1) les côtés opposés sont parallèles deux à deux ; (2) les côtés opposés sont égaux deux à deux ; (3) les diagonales se coupent en leur milieu.

$ABCD \text{ parallélogramme} \Leftrightarrow \begin{cases} AB \parallel DC \text{ et } AD \parallel BC \\ \text{ou } OA = OC \text{ et } OB = OD \end{cases}$

Méthode

Identifier les deux diagonales du quadrilatère et leurs points d'intersection.

Calculer les distances $OA$ , $OC$ , $OB$ et $OD$ (avec $O$ = intersection des diagonales).

Si $OA = OC$ et $OB = OD$ , conclure que les diagonales se coupent en leur milieu.

En déduire que le quadrilatère est un parallélogramme.

Exemple

Les diagonales d'un quadrilatère $EFGH$ se coupent en un point $O$ tel que $OE = OG = 4$ cm et $OF = OH = 3$ cm. Ce quadrilatère est-il un parallélogramme ?

Exemple

Un quadrilatère $ABCD$ a ses côtés opposés de longueurs $AB = DC = 7$ cm et $AD = BC = 5$ cm. Peut-on affirmer que c'est un parallélogramme ? Justifier.

À retenir

Un parallélogramme est un quadrilatère aux côtés opposés parallèles : côtés opposés égaux, angles opposés égaux, diagonales se coupant en leur milieu.
Le rectangle est un parallélogramme à $4$ angles droits ; ses diagonales sont égales.
Le losange est un parallélogramme à $4$ côtés égaux ; ses diagonales sont perpendiculaires.
Le carré est à la fois rectangle et losange.
Pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, il suffit de montrer que ses diagonales se coupent en leur milieu.

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Construire un parallélogramme à partir de données Exercices